Dimenzió #28

Túl a horizonton - Egyedül vagyunk?

(irodalom, sci-fi, paratudomány)

                   ''OPTIMÁLIS GÖRBÉK, FELÜLETEK ELŐÁLLÍTÁSAď0

   Autók, repülogépek, alkatrészek tervezésekor gyakran van szükségünk arra,
hogy  valamilyen  szempontból optimális görbéket, felületeket állítsunk elő.
                                 Ennek elméleti hátterét  a  CAGD  (Computer

          
Aided Geometric Design), a számítógéppel segített geometria tervezés termeti meg. '
'Egyszerű Bézier görbékď0 A legegyszerűbb problémák egyike az, ha polinomiális görbét (azaz olyat, amelyek egyenletét polinomok segítségével is felírhatjuk) kívánunk előállítani. ''1. ábraď0 Ekkor a legfontosabb kérdés az, hogyan tudjuk a görbét legegyszerűbben reprezentáni, azaz megkeresni azokat a paramétereit, melyek segítségével egyertelműen rekonstruálható. Kézenfekvő lenne, ha a polinom együtthatóit használnánk, de ez nem elég intutív, ezért a sokkal több célra használható kontrollpontokat alkalmazzuk. (Az első ábrán
látható görbe kontrollpontjait a 2. ábrán láthatjuk.) Ezt a módszert először a Renault gyár mérnöke Bézier publikálta, ezért az így előállított görbéket Bézier-görbéknek hívjuk. '
'2. ábraď0 Az intuitivitás nem matematikai, hanem inkább esztétikai kategória, azt értjük alatta, hogy amíg a polinom együtthatóira ránézve a polinom semmilyen tulajdonsága nem következtethető ki, addig a kontrollpontokra rápillantva a görbe számos tulajdonsága megállapítható.
'
'3. ábraď0 A kontrollpontok leghasznosabb tulajdonsága az affin invariancia, azaz az hogy az affin transzformációkat (eltolás, forgatás, nagyítás, tengelyes affintitás, stb.) a kontrollpontokra alkalmazva ugyanazt az eredményt kapjuk, mintha a magára a görbére alkalmaztuk volna.
A 3. és 4. ábrán az affin transzformáci- ókra láthatunk pél- dákat. '
'4. ábra ď0 ''Bézier szplájnokď0 Polinomok segítségével igen körülményes egy zárt görbét egyszerűen reprezentálni - elég ha a kör egyenletét idézzük fel képzeletünkben. Kontrollpontok segítségével - Bézier
görbeként az 5. ábrán látható zárt görbe előállítása sem túl körülményes, de még hatékonyabb, ha alacsonyabb fokszámú polinomiális görbékből illesztjük össze görbénket. Az így kapott görbét, nevezzük szplájnnak. '
'5. ábraď0 A szplájnok tehát polinomiális görbedarabokból állnak, de két görbedarab illesztésekor előfordulhat, hogy a görbe megtörik (nem lesz egyszeresen folytonosan differenciálható). Ezért a szplájnoknál ügyelnünk kell arra, hogy a kontrollpontokat úgy válasszuk, hogy az illesztésekkor a kívánt simasági feltétel teljesüljön.
'
'6. ábraď0 ''Bézier felületekď0 Az igazi kihívást a felületek modellezése jelenti (7. ábra) Ezeket úgy képzeljük el, hogy görbeháló feszíti ki őket, így a görbéknél megszokott kontrollpontos reprezentációt fejlesztjük
tovább. A kontrollpontok ebben az esetben is intuitívan fejezik ki a felület számos tulajdonságát. '
'7. ábraď0 A 8. ábrán a 7. ábra felületének kontrollponjait tekinthetjük meg. Az affin invariancia fogalma is a görbékével analóg módon megfogalmazható, pusztán a görbe szavak helyébe kell a felületet írni. Bonyolultabb felületek esetén itt is az "oszd meg és uralkodj" elvet kell alkalmazni
'
'8. ábraď0 ''Bézier szplájnfelületekď0 A 9. ábrán látható felületet már csak elemi polinomiális felületdarabok segítségvel érdemes előállítani, ezeket Bézier-szplájnfelületeknek nevezzük
'
'9. ábraď0 A felületdarabok egymáshoz illesztése a görbékéhez képest nagyságrendekkel nehezebb feladatot jelent, hiszen itt egy pontban nem pusztán két görbe, hanem legalább három, de általában négy elemi felületdarab illeszkedik. (10. ábra) A CAGD számos konstrukciót valósított meg attól függően, hogy a felhasználónak
milyen jellegű felületre van szüksége. Bézier '
'10. ábraď0 (''szemok@tiszanet.hu)
Google
 
Web iqdepo.hu
    © Copyright 1996-2021
    iqdepo / intelligence quotient designing power - digitális kultúrmisszió 1996 óta
    All rights reserved. Minden jog fenntartva.