''OPTIMÁLIS GÖRBÉK, FELÜLETEK ELŐÁLLÍTÁSAď0
Autók, repülogépek, alkatrészek tervezésekor gyakran van szükségünk arra,
hogy valamilyen szempontból optimális görbéket, felületeket állítsunk elő.
Ennek elméleti hátterét a CAGD (Computer
Aided Geometric Design), a számítógéppel
segített geometria tervezés termeti meg.
''Egyszerű Bézier görbékď0
A legegyszerűbb problémák egyike az, ha
polinomiális görbét (azaz olyat, amelyek
egyenletét polinomok segítségével is
felírhatjuk) kívánunk előállítani.
''1. ábraď0
Ekkor a legfontosabb kérdés az, hogyan tudjuk a görbét legegyszerűbben
reprezentáni, azaz megkeresni azokat a paramétereit, melyek segítségével
egyertelműen rekonstruálható. Kézenfekvő lenne, ha a polinom együtthatóit
használnánk, de ez nem elég intutív, ezért a sokkal több célra használható
kontrollpontokat alkalmazzuk. (Az első ábrán
látható görbe kontrollpontjait a 2. ábrán
láthatjuk.) Ezt a módszert először a Renault
gyár mérnöke Bézier publikálta, ezért az így
előállított görbéket Bézier-görbéknek
hívjuk.
''2. ábraď0
Az intuitivitás nem matematikai, hanem inkább esztétikai kategória, azt
értjük alatta, hogy amíg a polinom együtthatóira ránézve a polinom semmilyen
tulajdonsága nem következtethető ki, addig a kontrollpontokra rápillantva a
görbe számos tulajdonsága megállapítható.
''3. ábraď0
A kontrollpontok leghasznosabb tulajdonsága az affin invariancia, azaz az
hogy az affin transzformációkat (eltolás, forgatás, nagyítás, tengelyes
affintitás, stb.) a kontrollpontokra alkalmazva ugyanazt az eredményt
kapjuk, mintha a magára a görbére alkalmaztuk volna.
A 3. és 4. ábrán az
affin transzformáci-
ókra láthatunk pél-
dákat.
''4. ábra ď0
''Bézier szplájnokď0
Polinomok segítségével igen körülményes egy zárt görbét egyszerűen
reprezentálni - elég ha a kör egyenletét idézzük fel képzeletünkben.
Kontrollpontok segítségével - Bézier
görbeként az 5. ábrán látható zárt görbe
előállítása sem túl körülményes, de még
hatékonyabb, ha alacsonyabb fokszámú
polinomiális görbékből illesztjük össze
görbénket. Az így kapott görbét, nevezzük
szplájnnak.
''5. ábraď0
A szplájnok tehát polinomiális görbedarabokból állnak, de két görbedarab
illesztésekor előfordulhat, hogy a görbe megtörik (nem lesz egyszeresen
folytonosan differenciálható). Ezért a szplájnoknál ügyelnünk kell arra,
hogy a kontrollpontokat úgy válasszuk, hogy az illesztésekkor a kívánt
simasági feltétel teljesüljön.
''6. ábraď0
''Bézier felületekď0
Az igazi kihívást a felületek modellezése jelenti (7. ábra) Ezeket úgy
képzeljük el, hogy görbeháló feszíti ki őket, így a görbéknél megszokott
kontrollpontos reprezentációt fejlesztjük
tovább. A kontrollpontok ebben az esetben
is intuitívan fejezik ki a felület számos
tulajdonságát.
''7. ábraď0
A 8. ábrán a 7. ábra felületének kontrollponjait tekinthetjük meg. Az
affin invariancia fogalma is a görbékével analóg módon megfogalmazható,
pusztán a görbe szavak helyébe kell a felületet írni. Bonyolultabb felületek
esetén itt is az "oszd meg és uralkodj" elvet kell alkalmazni
''8. ábraď0
''Bézier szplájnfelületekď0
A 9. ábrán látható felületet már csak elemi polinomiális felületdarabok
segítségvel érdemes előállítani, ezeket Bézier-szplájnfelületeknek nevezzük
''9. ábraď0
A felületdarabok egymáshoz illesztése a görbékéhez képest
nagyságrendekkel nehezebb feladatot jelent, hiszen itt egy pontban nem
pusztán két görbe, hanem legalább három, de általában négy elemi
felületdarab illeszkedik. (10. ábra) A CAGD számos konstrukciót valósított
meg attól függően, hogy a felhasználónak
milyen jellegű felületre van szüksége.
Bézier
''10. ábraď0 (''szemok@tiszanet.hu)
látható görbe kontrollpontjait a 2. ábrán láthatjuk.) Ezt a módszert először a Renault gyár mérnöke Bézier publikálta, ezért az így előállított görbéket Bézier-görbéknek hívjuk. ''2. ábraď0 Az intuitivitás nem matematikai, hanem inkább esztétikai kategória, azt értjük alatta, hogy amíg a polinom együtthatóira ránézve a polinom semmilyen tulajdonsága nem következtethető ki, addig a kontrollpontokra rápillantva a görbe számos tulajdonsága megállapítható.
''3. ábraď0 A kontrollpontok leghasznosabb tulajdonsága az affin invariancia, azaz az hogy az affin transzformációkat (eltolás, forgatás, nagyítás, tengelyes affintitás, stb.) a kontrollpontokra alkalmazva ugyanazt az eredményt kapjuk, mintha a magára a görbére alkalmaztuk volna.
A 3. és 4. ábrán az affin transzformáci- ókra láthatunk pél- dákat. ''4. ábra ď0 ''Bézier szplájnokď0 Polinomok segítségével igen körülményes egy zárt görbét egyszerűen reprezentálni - elég ha a kör egyenletét idézzük fel képzeletünkben. Kontrollpontok segítségével - Bézier
görbeként az 5. ábrán látható zárt görbe előállítása sem túl körülményes, de még hatékonyabb, ha alacsonyabb fokszámú polinomiális görbékből illesztjük össze görbénket. Az így kapott görbét, nevezzük szplájnnak. ''5. ábraď0 A szplájnok tehát polinomiális görbedarabokból állnak, de két görbedarab illesztésekor előfordulhat, hogy a görbe megtörik (nem lesz egyszeresen folytonosan differenciálható). Ezért a szplájnoknál ügyelnünk kell arra, hogy a kontrollpontokat úgy válasszuk, hogy az illesztésekkor a kívánt simasági feltétel teljesüljön.
''6. ábraď0 ''Bézier felületekď0 Az igazi kihívást a felületek modellezése jelenti (7. ábra) Ezeket úgy képzeljük el, hogy görbeháló feszíti ki őket, így a görbéknél megszokott kontrollpontos reprezentációt fejlesztjük
tovább. A kontrollpontok ebben az esetben is intuitívan fejezik ki a felület számos tulajdonságát. ''7. ábraď0 A 8. ábrán a 7. ábra felületének kontrollponjait tekinthetjük meg. Az affin invariancia fogalma is a görbékével analóg módon megfogalmazható, pusztán a görbe szavak helyébe kell a felületet írni. Bonyolultabb felületek esetén itt is az "oszd meg és uralkodj" elvet kell alkalmazni
''8. ábraď0 ''Bézier szplájnfelületekď0 A 9. ábrán látható felületet már csak elemi polinomiális felületdarabok segítségvel érdemes előállítani, ezeket Bézier-szplájnfelületeknek nevezzük
''9. ábraď0 A felületdarabok egymáshoz illesztése a görbékéhez képest nagyságrendekkel nehezebb feladatot jelent, hiszen itt egy pontban nem pusztán két görbe, hanem legalább három, de általában négy elemi felületdarab illeszkedik. (10. ábra) A CAGD számos konstrukciót valósított meg attól függően, hogy a felhasználónak
milyen jellegű felületre van szüksége. Bézier ''10. ábraď0 (''szemok@tiszanet.hu)