Dimenzió #28

Túl a horizonton - Egyedül vagyunk?

(irodalom, sci-fi, paratudomány)

Legnépszerűbb számunk

[#24] Kapcsolat - kezdő és gyakorló szeretőknek -


Legnépszerűbb cikkünk

[#24] Szerelmes versek

                   OPTIMÁLIS GÖRBÉK, FELÜLETEK ELŐÁLLÍTÁSA

   Autók, repülogépek, alkatrészek tervezésekor gyakran van szükségünk arra,
hogy  valamilyen  szempontból optimális görbéket, felületeket állítsunk elő.
                                 Ennek elméleti hátterét  a  CAGD  (Computer
Aided Geometric Design), a számítógéppel segített geometria tervezés termeti meg.
Egyszerű Bézier görbék A legegyszerűbb problémák egyike az, ha polinomiális görbét (azaz olyat, amelyek egyenletét polinomok segítségével is felírhatjuk) kívánunk előállítani. 1. ábra Ekkor a legfontosabb kérdés az, hogyan tudjuk a görbét legegyszerűbben reprezentáni, azaz megkeresni azokat a paramétereit, melyek segítségével egyertelműen rekonstruálható. Kézenfekvő lenne, ha a polinom együtthatóit használnánk, de ez nem elég intutív, ezért a sokkal több célra használható kontrollpontokat alkalmazzuk. (Az első ábrán
látható görbe kontrollpontjait a 2. ábrán láthatjuk.) Ezt a módszert először a Renault gyár mérnöke Bézier publikálta, ezért az így előállított görbéket Bézier-görbéknek hívjuk.
2. ábra Az intuitivitás nem matematikai, hanem inkább esztétikai kategória, azt értjük alatta, hogy amíg a polinom együtthatóira ránézve a polinom semmilyen tulajdonsága nem következtethető ki, addig a kontrollpontokra rápillantva a görbe számos tulajdonsága megállapítható.
3. ábra A kontrollpontok leghasznosabb tulajdonsága az affin invariancia, azaz az hogy az affin transzformációkat (eltolás, forgatás, nagyítás, tengelyes affintitás, stb.) a kontrollpontokra alkalmazva ugyanazt az eredményt kapjuk, mintha a magára a görbére alkalmaztuk volna.
A 3. és 4. ábrán az affin transzformáci- ókra láthatunk pél- dákat.
4. ábra Bézier szplájnok Polinomok segítségével igen körülményes egy zárt görbét egyszerűen reprezentálni - elég ha a kör egyenletét idézzük fel képzeletünkben. Kontrollpontok segítségével - Bézier
görbeként az 5. ábrán látható zárt görbe előállítása sem túl körülményes, de még hatékonyabb, ha alacsonyabb fokszámú polinomiális görbékből illesztjük össze görbénket. Az így kapott görbét, nevezzük szplájnnak.
5. ábra A szplájnok tehát polinomiális görbedarabokból állnak, de két görbedarab illesztésekor előfordulhat, hogy a görbe megtörik (nem lesz egyszeresen folytonosan differenciálható). Ezért a szplájnoknál ügyelnünk kell arra, hogy a kontrollpontokat úgy válasszuk, hogy az illesztésekkor a kívánt simasági feltétel teljesüljön.
6. ábra Bézier felületek Az igazi kihívást a felületek modellezése jelenti (7. ábra) Ezeket úgy képzeljük el, hogy görbeháló feszíti ki őket, így a görbéknél megszokott kontrollpontos reprezentációt fejlesztjük
tovább. A kontrollpontok ebben az esetben is intuitívan fejezik ki a felület számos tulajdonságát.
7. ábra A 8. ábrán a 7. ábra felületének kontrollponjait tekinthetjük meg. Az affin invariancia fogalma is a görbékével analóg módon megfogalmazható, pusztán a görbe szavak helyébe kell a felületet írni. Bonyolultabb felületek esetén itt is az "oszd meg és uralkodj" elvet kell alkalmazni
8. ábra Bézier szplájnfelületek A 9. ábrán látható felületet már csak elemi polinomiális felületdarabok segítségvel érdemes előállítani, ezeket Bézier-szplájnfelületeknek nevezzük
9. ábra A felületdarabok egymáshoz illesztése a görbékéhez képest nagyságrendekkel nehezebb feladatot jelent, hiszen itt egy pontban nem pusztán két görbe, hanem legalább három, de általában négy elemi felületdarab illeszkedik. (10. ábra) A CAGD számos konstrukciót valósított meg attól függően, hogy a felhasználónak
milyen jellegű felületre van szüksége. Bézier
10. ábra ()
Google
 
Web iqdepo.hu
    © Copyright 1996-2019
    iqdepo / intelligence quotient designing power - digitális kultúrmisszió 1996 óta
    All rights reserved. Minden jog fenntartva. | xhtml, css, 508
internetes partnerünk:
Netmester
netmester a holnaptervező